Was ist das Brachistochronen-Problem?
Das Brachistochronen-Problem ist ein mathematisches Problem, das bereits im 17. Jahrhundert von dem Mathematiker Johann Bernoulli formuliert wurde. Es geht dabei um die Frage, welche Bahnkurve ein Körper zwischen zwei Punkten in der kürzesten Zeit zurücklegen muss, wenn er unter dem Einfluss der Schwerkraft steht. Das bedeutet, dass der Körper sich immer in Richtung des Erdmittelpunkts bewegt und somit ständig beschleunigt wird.
Beispiel: Die schnellste Strecke zwischen zwei Punkten
Ein einfaches Beispiel für das Brachistochronen-Problem ist die Frage, welche Bahnkurve ein Körper zwischen zwei Punkten, die sich auf unterschiedlicher Höhe befinden, in der kürzesten Zeit zurücklegen kann. Um dies zu beantworten, kann man von der Annahme ausgehen, dass die kürzeste Strecke ein Teil einer Kreisbahn ist. Allerdings zeigt sich bei genauerer Betrachtung, dass dies nicht zutrifft und stattdessen eine sogenannte Katenoidkurve die kürzeste Strecke darstellt.
Wie wird das Brachistochronen-Problem gelöst?
Um das Brachistochronen-Problem zu lösen, bedient man sich der Variationsrechnung. Dabei wird die Zeit, die der Körper benötigt, um von einem Punkt zum anderen zu gelangen, als Funktion der Bahnkurve formuliert. Anschließend wird die Ableitung dieser Funktion an den beiden Endpunkten berechnet und auf Null gesetzt. Die so erhaltene Differentialgleichung kann dann gelöst werden, um die kürzeste Strecke zu ermitteln.
Anwendungen des Brachistochronen-Prinzips
Das Brachistochronen-Prinzip hat zahlreiche Anwendungen in der Physik und Technik. So ist es beispielsweise relevant für die Konstruktion von Achterbahnen oder Skisprungschanzen, bei denen es darauf ankommt, die maximale Geschwindigkeit zu erreichen. Auch in der Astronomie spielt das Brachistochronen-Prinzip eine wichtige Rolle bei der Berechnung von Himmelsbahnen und Raumflügen. Zudem kommt es in der Quantenmechanik zur Anwendung, um den kürzesten Weg zwischen zwei Zuständen zu bestimmen.
